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数学思想方法及解题策略

来源:高中数学组 日期:2016-05-13

    数学思想方法是策略性知识,“少考一点算,多考一点想”,实质是加重对“数学思想方法”的考查。高考中常用的数学思想有:函数与方程;数形结合;化归与转化;分类讨论。

    一、函数与方程思想

    1.函数是中学数学的主线

    无处不函数,高考函数比重每年都较大。著名数学家克莱因说过:一般受教育者在数学课上应该学会的重要事情就是用变量和函数来思考。函数思想是一个重要的基本数学思想,其重要性不仅表现为五个基本初等函数的研究占据了高中数学的中心地位,而且还表现为:①方程或不等式可作为有关函数的零点、单调性、正负区间或极值来处理;②数列作为特殊的函数,一直处于高考的热点上;③作为函数概念的基础——集合与映射,已在高考中作为数学基本语言、数学基本工具而大量出现;④其他数学问题,特别是体现参数讨论或运动观点的问题,常可用函数思想来分析或用函数方法来解决。

    二、数形结合思想

    华罗庚先生指出:数缺形时少直觉,形少数时难入微,数形结合百般好,隔裂分家万事休。对数学问题的思考应当从数与形的联系上着眼,即数形结合思想。

    1、所谓数形结合,就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系,既分析其代数含义,又揭示其几何意义,使数量关系和空间形式巧妙和谐地结合起来,并充分利用这种结合,寻找解题思路,使问题得到解决。

    2、包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面,而“以形助数”是矛盾的主要方面。

    3、数形结合的方法有:图象法、几何法、坐标法

    4、数形结合的主要渠道有:

    ①绝对值、二次根式所蕴含的距离问题;②解析几何中定比分点、斜率、曲线与方程、区域与不等式;③函数与其图象间的几何变换;④向量的几何意义;⑤三角函数中单位圆中的三角函数线及正、余弦函数的图象变换;⑥复数的几何意义;⑦立体几何模型。其中以②、③为背景来实现其对应关系的转化最为普遍,是中学数学数形结合思想方法的最重要的部分。运用“数形结合”思想分析和解决问题时,首先要彻底明白概念和运算的几何意义及曲线的代数特征。数形结合所涉及的题目主要是参数范围问题,难点在于学生参与数与形的体验水平。转化是目的,作图是基础,识图是关键。

    三、化归与转化思想

    数学思想中的一条重要原则是不断地变更问题,使所要解决的问题由难变易或变为已经解决过的问题,或者把某一数学分支中的问题变为另外一个数学分支中的问题,以利于问题的解决。

    化归思想包括了我们所研究过的许多数学思想和方法,化归与转化思想的主要解题途径:⑴未知问题转化成已知;⑵函数与方程的转化;⑶空间与平面的转化;⑷数与形的相互转化;⑸一般与特殊的转化;⑹等与不等的转化;⑺高次与低次的转化;⑻整体与局部的相互转化。其基本原则是:⑴化难为易;⑵化生为熟;⑶化繁为简.常见的转化方法有:⑴直接转化法;⑵换元法;⑶数形结合法;⑷参数法;⑸构造法;⑹坐标法(立体几何与解析几何);⑺类比法;⑻特殊化方法;⑼一般化方法;⑽等价问题法;⑾加强命题法;⑿补集法;以上所列的一些方法是互相交叉的,不能截然分割。

    四、分类与讨论思想

    当一个数学问题比较复杂时,可以将其分割成若干个小问题或分解为一系列的步骤,通过局部的解决来实现整体的完成,这就是分类与讨论的基本想法.

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